Kombinacija slova, znakova i brojeva u matematičkim operacijama poznata je kao algebarski izrazi. Obično slova predstavljaju nepoznate veličine i nazivaju se varijablama ili nepoznanicama. Algebarski izrazi omogućuju prevođenje u matematičke jezične izraze običnog jezika. Algebarski izrazi proizlaze iz obveze prevođenja nepoznatih vrijednosti u brojeve koji su predstavljeni slovima. Grana matematike odgovorna za proučavanje ovih izraza u kojima se pojavljuju brojevi i slova, kao i znakovi matematičkih operacija, je Algebra.
Što su algebarski izrazi
Sadržaj
Kao što je već spomenuto, ove operacije nisu ništa drugo do kombinacija slova, brojeva i znakova koji se kasnije koriste u različitim matematičkim operacijama. U algebarskim izrazima slova se ponašaju kao brojevi, a kada krenu tim smjerom, koristi se između jednog i dva slova.
Bez obzira na izraz koji imate, prvo što treba učiniti je pojednostaviti, to se postiže korištenjem svojstava operacija (a), koja su ekvivalentna numeričkim svojstvima. Da biste pronašli numeričku vrijednost algebarske operacije, slovo morate zamijeniti određenim brojem.
Na tim se izrazima može izvesti mnogo vježbi koje će se izvoditi u ovom odjeljku kako bi se poboljšalo razumijevanje predmetne teme.
Primjeri algebarskih izraza:
- (X + 5 / X + 2) + (4X + 5 / X + 2)
X + 5 + 4X + 5 / X + 2
5X + 10 / X + 2
5 (X + 2) / X + 2
5
- (3 / X + 1) - (1 / X + 2)
3 (X + 2) - X - 1 / (X + 1) * (X + 2)
2X - 5 / X ^ 2 + 3X + 2
Algebarski jezik
Algebarski jezik je onaj koji koristi simbole i slova za predstavljanje brojeva. Njegova je glavna funkcija uspostaviti i strukturirati jezik koji pomaže generalizirati različite operacije koje se odvijaju unutar aritmetike gdje se javljaju samo brojevi i njihove elementarne aritmetičke operacije (+ -x%).
Algebarski jezik ima za cilj uspostaviti i dizajnirati jezik koji pomaže generaliziranju različitih operacija razvijenih unutar aritmetike, gdje se koriste samo brojevi i njihove osnovne matematičke operacije: zbrajanje (+), oduzimanje (-), množenje (x) i dijeljenje (/).
Algebarski jezik karakterizira njegova preciznost, jer je puno konkretniji od numeričkog jezika. Kroz nju se rečenice mogu kratko izraziti. Primjer: skup višekratnika od 3 je (3, 6, 9, 12…) izražava se 3n, gdje je n = (1, 2, 3, 4…).
Omogućuje vam izražavanje nepoznatih brojeva i izvršavanje matematičkih operacija s njima. Primjer, zbroj dvaju brojeva izražava se ovako: a + b. Podržava izražavanje općih numeričkih svojstava i odnosa.
Primjer: komutativno svojstvo izražava se ovako: axb = bx a. Kada pišete ovim jezikom, nepoznatim veličinama može se manipulirati jednostavnim simbolima za pisanje, što omogućuje pojednostavljivanje teorema, formuliranje jednadžbi i nejednakosti te proučavanje načina njihovog rješavanja.
Algebarski znakovi i simboli
U algebri se u teoriji skupova koriste i simboli i znakovi koji čine ili predstavljaju jednadžbe, nizove, matrice itd. Slova su izražena ili imenovana kao varijable, jer se isto slovo koristi u drugim problemima i njegova vrijednost pronalazi različite varijable. Među nekim klasifikacijskim algebarskim izrazima su sljedeći:
Algebarski razlomci
Algebarski razlomak poznat je kao onaj koji je predstavljen količnikom dva polinoma koji pokazuju ponašanje slično numeričkim razlomcima. U matematici možete s tim razlomcima operirati množenjem i dijeljenjem. Stoga se mora izraziti da je algebarski razlomak predstavljen količnikom dvaju algebarskih izraza gdje je brojnik dividenda, a nazivnik djelitelj.
Među svojstvima algebarskih razlomaka može se istaknuti da ako se nazivnik podijeli ili pomnoži s istom nultoj veličinom, razlomak se neće mijenjati. Pojednostavljenje algebarskog razlomka sastoji se u njegovom pretvaranju u razlomak koji se više ne može reducirati, nužno za faktoriranje polinoma koji čine brojnik i nazivnik.
Klasifikacijski algebarski izrazi odražavaju se u sljedećim vrstama: ekvivalent, jednostavan, ispravan, nepravilan, sastavljen od brojnika ili nultog nazivnika. Tada ćemo vidjeti svakog od njih.
Ekvivalenti
Suočavate se s tim aspektom kada je umnožak jednak, odnosno kada je rezultat razlomaka jednak. Na primjer, ove dvije algebarske frakcije: 2/5 i 4/10 bit će ekvivalentne ako je 2 * 10 = 5 * 4.
Jednostavan
Oni su oni u kojima brojnik i nazivnik predstavljaju cjelobrojne racionalne izraze.
Vlastiti
To su jednostavni razlomci u kojima je brojnik manji od nazivnika.
Nepravilno
To su jednostavni razlomci u kojima je brojnik jednak ili veći od nazivnika.
Kompozitni
Tvore ih jedan ili više razlomaka koji se mogu nalaziti u brojniku, nazivniku ili oboje.
Nulti brojnik ili nazivnik
Pojavljuje se kada je vrijednost 0. U slučaju da ima razlomak 0/0, bit će neodređen. Kada se algebarski razlomci koriste za izvođenje matematičkih operacija, moraju se uzeti u obzir neke karakteristike operacija s numeričkim razlomcima, na primjer, za početak mora se pronaći najmanji zajednički višekratnik kada su nazivnici različitih znamenki.
I kod dijeljenja i množenja, operacije se izvode i izvode na isti način kao i kod numeričkih razlomaka, jer ih je prethodno potrebno pojednostaviti kad god je to moguće.
Monomials
Monomijali su široko korišteni algebarski izrazi koji imaju konstantu koja se naziva koeficijent i doslovni dio, koji je predstavljen slovima i može se podići na različite moći. Na primjer, monom 2x 2x kao koeficijent ima 2, a x² je doslovni dio.
U nekoliko se navrata doslovni dio može sastojati od množenja nepoznanica, na primjer u slučaju 2xy. Svako od ovih slova naziva se neodređenim ili promjenjivim. Monomal je vrsta polinoma s jednim članom, osim toga, postoji mogućnost da bude protiv sličnih monoma.
Elementi monoma
S obzirom na monom 5x ^ 3; Razlikuju se sljedeći elementi:
- Koeficijent: 5
- Doslovni dio: x ^ 3
Umnožak monoma je koeficijent koji se odnosi na broj koji se pojavljuje množenjem doslovnog dijela. Obično se postavlja na početak. Ako umnožak monoma ima vrijednost 1, on se ne zapisuje i nikada ne može biti nula, jer bi cijeli izraz imao vrijednost nula. Ako biste nešto trebali znati o monomskim vježbama, to je sljedeće:
- Ako monomu nedostaje koeficijent, jednak je jedinici.
- Ako bilo koji pojam nema eksponent, jednak je jedinici.
- Ako bilo koji doslovni dio nije prisutan, ali je potreban, smatra se s eksponentom nula.
- Ako se ništa od toga ne slaže, onda se ne bavite monomskim vježbama, čak biste mogli reći da isto pravilo postoji i s vježbama između polinoma i monoma.
Zbrajanje i oduzimanje monoma
Da bi se izvršili zbrojevi između dva linearna monoma, potrebno je zadržati linearni dio i zbrojiti koeficijente. U oduzimanju dvaju linearnih monoma, linearni dio mora se održavati, kao u zbrojevima, da bi se mogli oduzeti koeficijenti, zatim se koeficijenti množe i sa istim osnovama dodaju eksponenti.
Množenje monoma
To je monom čiji je koeficijent umnožak ili rezultat koeficijenata, koji imaju doslovni dio koji je dobiven množenjem potencijala koji imaju potpuno istu bazu.
Podjela monoma
To je ništa drugo nego drugi monom čiji je koeficijent količnik dobivenih koeficijenata koji uz to imaju i doslovni dio dobiven iz podjela između potencijala koji imaju potpuno istu bazu.
Polinomi
Kada govorimo o polinomima, mislimo na algebarsku operaciju zbrajanja, oduzimanja i poredanog množenja načinjene od varijabli, konstanti i eksponenata. U algebri polinom može imati više varijabli (x, y, z), konstante (cijele brojeve ili razlomke) i eksponente (koji mogu biti samo pozitivni cijeli brojevi).
Polinomi se sastoje od konačnih članaka, svaki je izraz izraz koji sadrži jedan ili više od tri elementa s kojima su izrađeni: varijable, konstante ili eksponenti. Na primjer: 9, 9x, 9xy su svi pojmovi. Drugi je način prepoznavanja pojmova taj što se odvajaju zbrajanjem i oduzimanjem.
Da biste riješili, pojednostavili, dodali ili oduzeli polinome, morate spojiti pojmove s istim varijablama kao, na primjer, pojmove s x, pojmove s "y" i pojmove koji nemaju varijable. Također, važno je pogledati znak prije pojma koji će odrediti hoće li se zbrajati, oduzimati ili množiti. Pojmovi s istim varijablama grupiraju se, dodaju ili oduzimaju.
Vrste polinoma
Broj pojmova koje polinom ima ukazat će o kojoj se vrsti polinoma radi, na primjer, ako postoji polinom s jednim pojmom, onda je okrenut prema monomu. Jasan primjer toga je jedna od vježbi polinoma (8xy). Tu je i dvočlani polinom, koji se naziva binom, a identificira se sljedećim primjerom: 8xy - 2y.
Konačno, polinom triju članaka, koji su poznati kao trinomi i identificiraju se jednom od polinomskih vježbi 8xy - 2y + 4. Trinomi su vrsta algebarskog izraza nastala zbrojem ili razlikom triju članaka ili monomi (slični monomi).
Također je važno govoriti o stupnju polinoma, jer ako je riječ o jednoj varijabli, to je najveći eksponent. Stupanj polinoma s više varijabli određuje se pojmom s najvećim eksponentom.
Zbrajanje i oduzimanje polinoma
Zbroj polinoma uključuje kombiniranje pojmova. Slični pojmovi odnose se na monoma koji imaju istu varijablu ili varijable podignute na istu snagu.
Postoje različiti načini izvođenja polinomskih izračuna, uključujući zbroj polinoma, koji se mogu izvesti na dva različita načina: vodoravno i okomito.
- Dodavanje polinoma vodoravno: koristi se za vodoravno izvršavanje operacija, isplati se suvišnost, ali prvo se napiše polinom, a zatim nastavlja na istoj liniji. Nakon toga se zapisuje drugi polinom koji će se zbrajati ili oduzimati i na kraju se slični pojmovi grupiraju.
- Vertikalni zbroj polinoma: postiže se upisivanjem prvog polinoma na uređen način. Ako je ovo nepotpuno, važno je praznine u terminima koji nedostaju ostaviti slobodnima. Zatim, sljedeći polinom je napisan odmah ispod prethodnog, na taj će način izraz sličan onome gore biti ispod. Na kraju se dodaje svaki stupac.
Važno je dodati da se za zbrajanje dva polinoma moraju dodati koeficijenti članaka istog stupnja. Rezultat dodavanja dva pojma istog stupnja je još jedan pojam istog stupnja. Ako bilo kojem pojmu nedostaje bilo kojem stupnju, može se upotpuniti s 0. A oni su obično poredani od najvišeg do najnižeg stupnja.
Kao što je gore spomenuto, za izvođenje zbroja dva polinoma potrebno je samo dodati pojmove istog stupnja. Svojstva ove operacije sastoje se od:
- Asocijativna svojstva: u kojima se zbroj dva polinoma rješava dodavanjem koeficijenata koji prate x-ove koji rastu do iste snage.
- Komutativno svojstvo: koje mijenja redoslijed dodavanja i rezultat se ne može utvrditi. Neutralni elementi kojima su svi koeficijenti jednaki 0. Kada se neutralnom elementu doda polinom, rezultat je jednak prvom.
- Suprotno svojstvo: nastalo od polinoma koji ima sve obrnute koeficijente agregatnih koeficijenata polinoma. dakle, pri izvođenju operacije zbrajanja rezultat je nulti polinom.
Što se tiče oduzimanja polinoma, (operacije s polinomima) nužno je monomi grupirati prema karakteristikama koje posjeduju i započeti s pojednostavljenjem sličnih. Operacije s polinomima izvode se dodavanjem suprotnosti subtrahenda u minuend.
Drugi učinkovit način za oduzimanje polinoma je pisanje suprotnosti svakog polinoma ispod drugog. Dakle, slični monomi ostaju u stupcima i nastavljamo ih dodavati. Nije bitno koja se tehnika provodi, na kraju će rezultat uvijek biti isti, naravno ako se pravilno izvede.
Množenje polinoma
Množenje monoma ili vježbe između polinoma i monoma, to je operacija koja se izvodi za pronalaženje dobivenog proizvoda, između monoma (algebarski izraz zasnovan na množenju broja i slova uzdignutog na pozitivni cjelobrojni eksponent) i drugog izraz, ako je ovo neovisan pojam, drugi monom ili čak polinom (konačan zbroj monoma i neovisnih članaka).
Međutim, kao i kod gotovo svih matematičkih operacija, množenje polinoma također ima niz koraka koje treba slijediti prilikom rješavanja predložene operacije, a koji se mogu sažeti u slijedećim postupcima:
Prvo što treba učiniti jest pomnožiti monom s njegovim izrazom (pomnožiti znakove svakog od njegovih pojmova). Nakon toga vrijednosti koeficijenta se množe i kada se vrijednost pronađe u toj operaciji, dodaje se doslovce monoma pronađenih u izrazima. Tada se svaki rezultat zapisuje abecednim redom i na kraju se dodaje svaki eksponent koji se nalazi u osnovnim literalima.
Polinomska podjela
Također poznata kao Ruffinijeva metoda. Omogućuje nam dijeljenje polinoma s binomom, a također omogućava lociranje korijena polinoma da bi ga podijelili na binome. Drugim riječima, ova tehnika omogućuje dijeljenje ili dekompoziciju algebarskog polinoma stupnja n u algebarski binom, a zatim u drugi algebarski polinom stupnja n-1. A da bi to bilo moguće, potrebno je znati ili znati barem jedan od korijena jedinstvenog polinoma, kako bi razdvajanje bilo točno.
Učinkovita je tehnika dijeljenja polinoma binomom oblika x - r. Ruffinijevo pravilo poseban je slučaj sintetske podjele kada je djelitelj linearni faktor. Ruffinijevu metodu opisao je talijanski matematičar, profesor i liječnik Paolo Ruffini 1804. godine, koji je osim što je izumio poznatu metodu nazvanu Ruffinijevo pravilo, koja pomaže u pronalaženju koeficijenata rezultata fragmentacije polinoma pomoću binomni; Također je otkrio i formulirao ovu tehniku na približnom izračunavanju korijena jednadžbi.
Kao i uvijek, kada je riječ o algebarskoj operaciji, Ruffinijevo pravilo uključuje niz koraka koje je potrebno ispuniti da bi se došlo do željenog rezultata, u ovom slučaju: pronaći količnik i ostatak svojstveni podjeli bilo koje vrste polinoma i a binom oblika x + r.
Prije svega, prilikom započinjanja operacije, izrazi se moraju pregledati kako bi se provjerilo ili utvrdilo jesu li doista tretirani kao polinomi i binomi koji odgovaraju očekivanom obliku Ruffinijevom metodom pravila.
Nakon što su ovi koraci potvrđeni, polinom je poredan (u opadajućem redoslijedu). Nakon ovog koraka uzimaju se u obzir samo koeficijenti člana polinoma (do neovisnog), postavljajući ih u niz slijeva udesno. Nekoliko je prostora ostavljeno za potrebne pojmove (samo u slučaju nepotpunog polinoma). Znak galije postavljen je s lijeve strane reda, koji se sastoji od koeficijenata polima dividende.
U lijevi dio galerije nastavljamo s postavljanjem neovisnog člana binoma, koji je sada djelitelj i njegov je znak obrnut. Neovisno se množi s prvim koeficijentom polinoma, čime se registrira u drugom retku ispod prvog. Tada se prvi koeficijent oduzima drugi koeficijent i umnožak monomskog neovisnog člana.
Nezavisni član binoma množi se rezultatom prethodnog oduzimanja. Ali također, smješten je u drugi red, što odgovara četvrtom koeficijentu. Operacija se ponavlja dok se ne postignu svi uvjeti. Treći redak koji je dobiven na temelju tih množenja uzima se kao količnik, s izuzetkom njegovog posljednjeg mandata, koji će se smatrati ostatkom dijeljenja.
Rezultat se izražava, prateći svaki koeficijent varijable i stupanj koji joj odgovara, pokazujući ih nižim stupnjem od onoga koji su prvobitno imali.
- Preostali teorem: to je praktična metoda koja se koristi za dijeljenje polinoma P (x) s drugim čiji je oblik xa; u kojem se dobiva samo vrijednost ostatka. Da biste primijenili ovo pravilo, slijede se sljedeći koraci. Polinomska dividenda zapisuje se bez dovršavanja ili poredavanja, a zatim se varijabla x dividende zamjenjuje suprotnom vrijednošću neovisnog člana djelitelja. I na kraju, operacije se rješavaju u kombinaciji.
Teorem o ostatku je metoda kojom možemo dobiti ostatak od algebarske podjele, ali u kojoj nije potrebno izvršiti nikakvu podjelu.
- Ruffinijeva metoda: Ruffinijeva metoda ili pravilo metoda je koja nam omogućuje dijeljenje polinoma s binomom, a također nam omogućava da lociramo korijene polinoma da računamo u binome. Drugim riječima, ova tehnika omogućuje dijeljenje ili razgradnju algebarskog polinoma stupnja n u algebarski binom, a zatim u drugi algebarski polinom stupnja n-1. A da bi to bilo moguće, potrebno je znati ili znati barem jedan od korijena jedinstvenog polinoma, kako bi razdvajanje bilo točno.
- Korijeni polinoma: Korijeni polinoma su određeni brojevi koji čine polinom vrijednim nule. Također možemo reći da će cjeloviti korijeni polinoma cjelobrojnih koeficijenata biti djelitelji neovisnog člana. Kada riješimo polinom jednak nuli, dobivamo korijene polinoma kao rješenja. Kao svojstva korijena i čimbenici polinoma možemo reći da su nule ili korijeni polinoma djelitelji neovisnog člana koji pripada polinomu.
To nam omogućuje da saznamo ostatak dijeljenja polinoma p (x), na primjer, drugim oblikom xa. Iz ovog teorema proizlazi da je polinom p (x) djeljiv s xa samo ako je a korijen polinoma, samo ako i samo ako je p (a) = 0. Ako je C (x) količnik i R (x) je ostatak podjele bilo kojeg polinoma p (x) binomom koji bi bio (xa) brojčana vrijednost p (x), za x = a jednak je ostatku njegove podjele xa.
Tada ćemo reći da je: nP (a) = C (a) • (a - a) + R (a) = R (a). Općenito, za dobivanje ostatka od dijeljenja pomoću Xa prikladnije je primijeniti Ruffinijevo pravilo nego zamijeniti x. Stoga je ostatak teorema najprikladnija metoda za rješavanje problema.
U matematičkom je svijetu Ruffinijevo pravilo učinkovita tehnika dijeljenja polinoma binomom oblika x - r. Ruffinijevo pravilo poseban je slučaj sintetske podjele kada je djelitelj linearni faktor.
Ruffinijevu metodu opisao je talijanski matematičar, profesor i liječnik Paolo Ruffini 1804. godine, koji je osim što je izumio poznatu metodu nazvanu Ruffinijevo pravilo, koja pomaže u pronalaženju koeficijenata rezultata fragmentacije polinoma pomoću binomni; Također je otkrio i formulirao ovu tehniku na približnom izračunavanju korijena jednadžbi.
Tada za svaki korijen, na primjer, tipa x = a odgovara binomu tipa (xa). Polimon je moguće izraziti u faktorima ako ga izrazimo kao umnožak ili svih binoma tipa (xa) koji odgovaraju korijenima, x = a, koji rezultiraju. Treba uzeti u obzir da je zbroj eksponenata binoma jednak stupnju polinoma, također treba uzeti u obzir da će svaki polinom koji nema neovisan član priznati kao korijen x = 0, na drugi način, priznat će kao X faktor.
Polinom ćemo nazvati "prostim" ili "nesvodljivim" kad ne postoji mogućnost za faktoring.
Da bismo se pozabavili temom, moramo biti načisto s temeljnim teoremom algebre, koji kaže da je dovoljno da polinom u nestalnim varijabilnim i složenim koeficijentima ima onoliko korijena koliko i njegov stupanj, budući da korijeni imaju svoju množinu. To potvrđuje da bilo koja algebarska jednadžba stupnja n ima n složenih rješenja. Polinom stupnja n ima najviše n stvarnih korijena.
Primjeri i vježbe
U ovom ćemo odjeljku smjestiti nekoliko algebarskih izraza riješenih vježbi svake od tema obrađenih u ovom postu.
Vježbe algebarskih izraza:
- X ^ 2 - 9 / 2X + 6
(X + 3) * (X - 3) / 2 * (X + 3)
X - 3/2
- X ^ 2 + 2X + 1 / X ^ 2 - 1
(X + 1) ^ 2 / (X + 1) * (X - 1)
X + 1 / X - 1
Zbroj polinoma
- 2x + 3x + 5x = (2 + 3 + 5) x = 10 x
- P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) + Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) + (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 3 × 2) + (5x-6x) + (-6 + 3) = 5 × 2-x-3
Oduzimanje polinoma
P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) -Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) - (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 5x-6) + (-3 × 2 + 6x-3) = (2 × 2-3 × 2) + (5x + 6x) + (-6-3) = -x2 + 11x-9
Polinomska podjela
- 8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
- 15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 i
- 12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
- -6 v2.c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Algebarski izrazi (binomni kvadrat)
(x + 3) 2 = x 2 + 2 • x • 3 + 32 = x 2 + 6 x + 9
(2x - 3) 2 = (2x) 2 - 2 • 2x • 3 + 32 = 4 × 2 - 12 x + 9
Ostatak teorema
(x4 - 3 × 2 + 2):(x - 3)
R = P (3) = 34 - 3 • 32 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56
Množenje monoma
axnbxm = (ab) xn + m
(5x²y³z) (2y²z²) = (2 · 5) x²y3 + 2z1 + 2 = 10x²y5z³
4x · (3x²y) = 12x³y
Podjela monoma
8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 i
12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
-6 v2. c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Zbrajanje i oduzimanje monoma
Vježba: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2
Rješenje: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2 = 3 × 3 + 2 × 3 + 2 × 2 - 4x + 5 -2 = 5 × 3 + 2 × 2 - 4x + 3
