Algebra je grana matematike koja koristi brojeve, slova i znakovi za označavanje različitih aritmetičke operacije se izvode. Danas se algebra kao matematički resurs koristi u odnosima, strukturama i količini. Elementarna algebra najčešća je jer se koristi aritmetičke operacije poput zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja, jer za razliku od aritmetike, umjesto brojeva, najčešće koristi simbole kao što je xy.
Što je algebra
Sadržaj
Grana je koja pripada matematici koja omogućuje razvoj i rješavanje aritmetičkih problema putem slova, simbola i brojeva koji zauzvrat simboliziraju predmete, predmete ili skupine elemenata. To omogućuje formuliranje operacija koje sadrže nepoznate brojeve, zvane nepoznanice, i što omogućuje razvoj jednadžbi.
Kroz algebru je čovjek mogao računati na apstraktan i generičan način, ali i naprednije, kroz složenije izračune, koje su razvili matematički i fizički intelektualci poput Sir Isaaca Newtona (1643-1727), Leonharda Eulera (1707- 1783.), Pierre de Fermat (1607.-1665.) Ili Carl Friedrich Gauss (1777.-1855.), Zahvaljujući čijim doprinosima imamo definiciju algebre kakvu danas poznajemo.
Međutim, prema povijesti algebre, Diofant Aleksandrijski (datum rođenja i smrti nepoznat, vjeruje se da je živio između 3. i 4. stoljeća), zapravo je bio otac ove grane, jer je objavio djelo pod nazivom Arithmetica, koje je Sastojalo se od trinaest knjiga i u kojima je iznio probleme s jednadžbama koje su, iako nisu odgovarale teorijskom karakteru, bile primjerene općim rješenjima. To je pomoglo definirati što je algebra, a među mnogim doprinosima koje je dao, to je bila primjena univerzalnih simbola za predstavljanje nepoznatog unutar varijabli problema koji se treba riješiti.
Podrijetlo riječi "algebra" dolazi iz arapskog jezika i znači "obnova" ili "prepoznavanje". Na isti način ima svoje značenje na latinskom, što odgovara "redukciji", i, iako nisu identični pojmovi, znače isto.
Kao dodatni alat za proučavanje ove grane možete imati algebarski kalkulator, koji je kalkulator koji može grafički prikazati algebarske funkcije. Omogućavajući na taj način integriranje, izvođenje, pojednostavljivanje izraza i funkcija grafikona, izradu matrica, rješavanje jednadžbi, između ostalih funkcija, iako je ovaj alat prikladniji za višu razinu.
Unutar algebre nalazi se algebarski pojam, koji je umnožak numeričkog faktora barem jedne slovne varijable; u kojem se svaki pojam može razlikovati njegov brojčani koeficijent, njegove varijable predstavljene slovima i stupanj pojma pri dodavanju eksponenata doslovnih elemenata. To znači da će za algebarski pojam p5qr2 koeficijent biti 1, njegov doslovni dio bit će p5qr2, a stupanj 5 + 1 + 2 = 8.
Što je algebarski izraz
To je izraz koji čine cjelobrojne konstante, varijable i algebarske operacije. Algebarski izraz čine znakovi ili simboli, a čine ga drugi specifični elementi.
U elementarnoj algebri, kao i u aritmetici, algebarske operacije koje se koriste za rješavanje problema su: zbrajanje ili zbrajanje, oduzimanje ili oduzimanje, množenje, dijeljenje, osnaživanje (množenje višestrukog faktora puta) i radikacije (obrnuti postupak potenciranja)
Znakovi koji se koriste u tim operacijama isti su kao i oni koji se koriste za računanje za zbrajanje (+) i oduzimanje (-), ali za množenje X (x) zamjenjuje se točkom (.) Ili se mogu prikazati znakovima grupiranja (primjer: cd i (c) (d) su ekvivalentni elementu "c" pomnoženom s elementom "d" ili cxd), a u algebarskoj podjeli koriste se dvije točke (:).
Također se koriste znakovi za grupiranje, poput zagrada (), uglatih zagrada, zagrada {} i vodoravnih pruga. Također se koriste znakovi veze, koji se koriste za ukazivanje na to da postoji povezanost između dva podatka, a među najčešće korištenima jednaki su (=), veći od (>) i manji od (<).
Također, karakterizira ih korištenje stvarnih brojeva (racionalnih, koji uključuju pozitivne, negativne i nule; i iracionalnih, koji su oni koji se ne mogu predstaviti kao razlomci) ili složenih, koji su dio stvarnog, tvoreći algebarski zatvoreno polje.
To su glavni algebarski izrazi
Postoje izrazi koji su dio koncepta što je algebra, ti se izrazi svrstavaju u dvije vrste: monomi, koji imaju jedan dodatak; i polinoma, koji ima dva (binoma), tri (trinoma) ili više sabiraka.
Neki primjeri monoma bili bi: 3x, π
Dok neki polinomi mogu biti: 4 × 2 + 2x (binom); 7ab + 3a3 (trinom)
Važno je spomenuti da ako je varijabla (u ovom slučaju "x") u nazivniku ili unutar korijena, izrazi ne bi bili monomi ili polinomi.
Što je linearna algebra
Ovo područje matematike i algebre proučava pojmove vektora, matrica, sustava linearnih jednadžbi, vektorskih prostora, linearnih transformacija i matrica. Kao što se može vidjeti, linearna algebra ima razne primjene.
Njegova korisnost varira od proučavanja prostora funkcija, a to su one koje su definirane skupom X (vodoravno) do skupa Y (okomito) i primjenjuju se na vektorske ili topološke prostore; diferencijalne jednadžbe koje povezuju funkciju (vrijednost koja ovisi o drugoj vrijednosti) s njezinim izvedenicama (trenutna brzina promjene zbog koje vrijednost zadane funkcije varira); operacijsko istraživanje koje primjenjuje napredne analitičke metode za donošenje zdravih odluka; na inženjering.
Jedna od glavnih osi proučavanja linearne algebre nalazi se u vektorskim prostorima, koji se sastoje od skupa vektora (segmenata linije) i skupa skalara (stvarni, konstantni ili složeni brojevi, koji imaju veličinu, ali ne i karakteristika vektora smjera).
Glavni konačni dimenzionalni vektorski prostori su tri:
- Su vektori u Rn, koji predstavljaju Kartezijevih koordinata (X horizontalne osi i vertikalna Y os).
- Su matrice, koje su pravokutne sustavi izrazi (predstavljene brojevima ili simbolima), karakterizira broj redaka (obično predstavljen slovo „m”), i veći broj stupova (označena slovom „n”), i koriste se u znanosti i inženjerstvu.
- Vektorski prostor polinoma u istoj varijabli, daje polinoma koji ne prelaze stupanj 2, imaju prave koeficijenata i nalaze se na varijablu „x”.
Algebarske funkcije
Odnosi se na funkciju koja odgovara algebarskom izrazu, a ujedno zadovoljava polinomsku jednadžbu (njezini koeficijenti mogu biti monomi ili polinomi). Klasificirani su kao: racionalna, iracionalna i apsolutna vrijednost.
- Cjelobrojne racionalne funkcije su one izražene u:, gdje "P" i "Q" predstavljaju dva polinoma, a "x" varijablu, gdje se "Q" razlikuje od nultog polinoma, a varijabla "x" ne poništava nazivnik.
- Iracionalne funkcije, u kojima izraz f (x) predstavlja radikal, poput ove:. Ako je vrijednost "n" parna, radikal će se definirati tako da je g (x) veće i jednako 0, a mora se naznačiti i znak rezultata, jer bez njega ne bi bilo moguće govoriti o funkciji, budući da za svaku vrijednost "x" postojala bi dva rezultata; Iako je indeks radikala neparan, potonji nije potreban, jer bi rezultat bio jedinstven.
- Apsolutna vrijednost funkcionira, gdje će apsolutna vrijednost realnog broja biti njegova numerička vrijednost ostavljajući po strani njegov znak. Na primjer, 5 će biti apsolutna vrijednost i 5 i -5.
Postoje eksplicitne algebarske funkcije, u kojima će njegova varijabla "y" biti rezultat kombiniranja varijable "x" ograničen broj puta, koristeći algebarske operacije (na primjer, algebarski zbrajanje), koje uključuju nadmorsku visinu na potencije i vađenje korijena; to bi značilo y = f (x). Primjer ove vrste algebarske funkcije mogao bi biti sljedeći: y = 3x + 2 ili što bi bilo isto: (x) = 3x + 2, jer je "y" izraženo samo u terminima "x".
S druge strane, postoje implicitni, a to su oni kod kojih varijabla "y" nije izražena samo kao funkcija varijable "x", pa je y ≠ f (x). Kao primjer ove vrste funkcije imamo: y = 5x3y-2
Primjeri algebarskih funkcija
Postoji najmanje 30 vrsta algebarskih funkcija, ali među najistaknutijima postoje sljedeći primjeri:
1. Eksplicitna funkcija: ƒ () = sin
2. Implicitna funkcija: yx = 9 × 3 + x-5
3. Polinomska funkcija:
a) Konstanta: ƒ () = 6
b) Prvi stupanj ili linearni: ƒ () = 3 + 4
c) Drugi stupanj ili kvadratni: ƒ () = 2 + 2 + 1 ili (+1) 2
d) Treći stupanj ili kubik: ƒ () = 2 3 + 4 2 + 3 +9
4. Racionalna funkcija: ƒ
5. Potencijalna funkcija: ƒ () = - 1
6. Radikalna funkcija: ƒ () =
7. Funkcija po odjeljcima: ƒ () = ako je 0 ≤ ≤ 5
Što je Baldorova algebra
Kad se govori o tome što je Baldorova algebra, misli se na rad koji je razvio matematičar, učitelj, književnik i pravnik Aurelio Baldor (1906-1978), a koji je objavljen 1941. U profesorovoj publikaciji, koji rođen je u Havani na Kubi, pregledano je 5.790 vježbi, što je prosječno 19 vježbi po testu.
Baldor je objavio i druga djela, poput "Geometrija ravnina i svemir", "Baldorova trigonometrija" i "Baldor aritmetika", ali ono koje je imalo najveći utjecaj na polju ove grane bila je "Baldor Algebra".
Ovaj se materijal, međutim, više preporučuje za srednju obrazovnu razinu (poput srednje škole), jer za više razine (sveučilište) teško da bi mogao poslužiti kao dopuna ostalim naprednijim tekstovima prema toj razini.
Poznata naslovnica na kojoj je predstavljen perzijski muslimanski matematičar, astronom i geograf Al-Juarismi (780. - 846.) predstavlja zabunu kod učenika koji su koristili ovaj poznati matematički alat, budući da se smatra da se radi o ovom liku. njezin autor Baldor.
Sadržaj djela podijeljen je u 39 poglavlja i dodatak koji sadrži proračunske tablice, tablicu osnovnih oblika razgradnje faktora i tablice korijena i moći; a na kraju teksta su odgovori na vježbe.
Na početku svakog poglavlja nalazi se ilustracija koja odražava povijesni pregled koncepta koji će se razviti i objasniti u nastavku, a spominje istaknute povijesne ličnosti na terenu, prema povijesnom kontekstu u kojem se referenca koncepta nalazi. Ti se likovi kreću od Pitagore, Arhimeda, Platona, Diofanta, Hipatije i Euklida do Renéa Descartesa, Isaaca Newtona, Leonarda Eulera, Blasa Pascala, Pierre-Simona Laplacea, Johanna Carla Friedricha Gaussa, Maxa Plancka i Alberta Einsteina.
Zbog čega je zaslužna slava ove knjige?
Njezin uspjeh leži u činjenici da je, osim što je poznato obvezno književno djelo u latinoameričkim srednjim školama, i najviše konzultirana i cjelovita knjiga na tu temu, jer sadrži jasno objašnjenje pojmova i njihovih algebarskih jednadžbi, kao i povijesne podatke o aspektima. proučavati, u kojem se obrađuje algebarski jezik.
Ova je knjiga inicijacija par excellence za studente u algebarski svijet, iako za neke predstavlja izvor inspirativnih studija, a za druge se pribojava, istina je da je obavezna i idealna bibliografija za bolje razumijevanje obuhvaćenih tema..
Što je Booleova algebra
Engleski matematičar George Boole (1815. - 1864.) stvorio je skupinu zakona i pravila za izvođenje algebarskih operacija, do te mjere da je dio njih dobio ime. Iz tog razloga, engleski matematičar i logičar se smatra jednim od preteča računalne znanosti.
U logičkim i filozofskim problemima zakoni koje je Boole razvio omogućili su ih pojednostavljivanje u dva stanja, a to su istinsko stanje ili lažno stanje, a do tih se zaključaka došlo matematičkim putem. Neki implementirani upravljački sustavi, poput sklopnika i releja, koriste otvorene i zatvorene komponente, a otvoreni je taj koji provodi, a zatvoreni onaj koji ne. To je u Booleovoj algebri poznato kao sve ili ništa.
Takva stanja imaju numerički prikaz 1 i 0, gdje 1 predstavlja istinito, a 0 lažno, što olakšava njihovo proučavanje. Prema svemu tome, bilo koja komponenta svih vrsta ili ništa ne može se predstaviti logičkom varijablom, što znači da može imati vrijednost 1 ili 0, ti su prikazi poznati kao binarni kod.
Bulova algebra omogućuje pojednostavljivanje logičkih sklopova ili logičkih prebacivanja unutar digitalne elektronike; također se pomoću njega proračunski i logički postupci sklopova mogu izvoditi na izraženiji način.
U logičkoj algebri postoje tri temeljna postupka, a to su: logički proizvod, AND ulaz ili presječna funkcija; logički zbroj, ILI vrata ili funkcija spajanja; i logična negacija, NE funkcija vrata ili komplementa. Postoji i nekoliko pomoćnih funkcija: logička negacija proizvoda, NAND vrata; negacija logičke sume, NOR vrata; ekskluzivni logički zbroj, XOR vrata; i negacija ekskluzivnog logičkog zbroja, vrata XNOR.
Unutar Bulove algebre postoji niz zakona, među kojima su:
- Zakon o otkazivanju. Naziva se i zakonom o poništenju, a kaže da će se u nekoj vježbi nakon postupka neovisni pojam poništiti, tako da su (AB) + A = A i (A + B). A = A.
- Zakon o identitetu. Ili identiteta elemenata 0 i 1, utvrđuje da će varijabla kojoj je dodan null element ili 0 biti jednaka istoj varijabli A + 0 = A na isti način kao da se varijabla množi s 1, rezultat je isti A.1 = a.
- Neimpotentno pravo. Države koje određena radnja može se izvesti nekoliko puta, a isti rezultat, tako da, ako imate kombinaciju A + A = A, a ako je to odvajanje AA = A.
- Komutativno pravo. To znači da bez obzira na redoslijed u kojem su varijable, tako A + B = B + A.
- Zakon dvostruke negacije. O involucije, navodi da ako poricanje je dao još jedan Denial pozitivan rezultat, tako da je (A „) = A.
- Morganov teorem. Oni kažu da će zbroj neke količine negatiranih varijabli općenito biti jednak umnošku svake negirane varijable neovisno, pa je (A + B) '= A'.B' i (AB) '= A' + B '.
- Distributivni zakon. Utvrđuje da će, kada se spoje neke varijable, koje će se pomnožiti s drugom vanjskom varijablom, biti isto kao i množenje svake varijable grupirane vanjskom varijablom, kako slijedi: A (B + C) = AB + AC.
- Zakon o apsorpciji. Kaže da ako varijabla A podrazumijeva varijablu B, tada će varijabla A podrazumijevati A i B, a A će "apsorbirati" B.
- Asocijativno pravo. U disjunkciji ili pri spajanju nekoliko varijabli, rezultat će biti jednak bez obzira na njihovo grupiranje; tako da je u zbrajanju A + (B + C) = (A + B) + C (prvi element plus povezanost posljednja dva, jednak je povezivanju prva dva plus posljednji).
